bg电子游戏平台最全面初中数学培优辅导资料pdf

2023/08/23

　　精品 pdf资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 初中数学竞赛辅导资料 二元一次方程组解的讨论 甲内容提要 a x b y c 1 1 1 1． 二元一次方程组 的解的情况有以下三种： a x b y c 2 2 2 a1 b1 c1 ① 当 时，方程组有无数多解。 （∵两个方程等效） a2 b2 c2 a1 b1 c1 ② 当 时，方程组无解。 （∵两个方程是矛盾的） a2 b2 c2 a b ③ 当 1 1 －a ≠0 ）时，方程组有唯一的解： （即a1b2 2 b1 a2 b2 c b c b 1 2 2 1 x a b a b 1 2 2 1 （这个解可用加减消元法求得） c a c a 2 1 1 2 y a b a b 1 2 2 1 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按 二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数） ，再解 含待定系数的不等式或加以讨论。 （见例 2、3 ） 乙例题 5 x 7y 例 1. 选择一组 a,c 值使方程组 ax y c 2 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5 ∶a=1 ∶2=7 ∶c 时，方程组有无数多解 解比例得 a=10, c=14 。 ② 当 5 ∶a＝1 ∶2≠7 ∶c 时，方程组无解。 解得 a=10, c≠ 14。 ③当 5 ∶a≠ 1 ∶2 时，方程组有唯一的解， 即当 a≠ 10 时， c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 x y a 例 2. a 取什么值时，方程组 的解是正数？ 5x 3y 31 解：把 a 作为已知数，解这个方程组 学习资料 精品 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - 精品 pdf资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 31 3 a 31 3 a x 0 2 x 0 2 得 ∵ ∴ 5 31a y 0 5 31a y 0 2 2 31 a 3 1 1 解不等式组得 解集是 6 a 10 31 5 3 a 5 1 1 答：当 a 的取值为 6 a 10 时，原方程组的解是正数。 5 3 x 2my 4 例 3. m 取何整数值时，方程组 的解 x 和 y 都是整数？ x 4y 1 8 x 1 m 8 解：把 m 作为已知数，解方程组得 2 y m 8 ∵x 是整数，∴ m －8 取 8 的约数± 1，± 2，± 4，± 8 。 ∵y 是整数，∴ m －8 取 2 的约数± 1，± 2。 取它们的公共部分， m －8＝± 1，± 2。 解得 m=9 ，7， 10，6 。 经检验 m=9 ，7 ， 10，6 时，方程组的解都是整数。 例 4 （古代问题）用 100 枚铜板买桃，李，榄橄共 100 粒，己知桃，李每bg电子游戏平台粒分别是 3，4 枚 铜板，而榄橄 7 粒 1 枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买 x, y, z 粒 ,依题意得 x y z100 (1) 1 x 3y 4z 100(2) 7 由（ 1）得 x= 100 －y －z (3) 把（ 3）代入（ 2 ），整理得 z y= －200+3z － 7 z 设 k (k 为整数 ) 得 z=7k, y= －200+20k, x=300 －27k 7 100 k 300 27 0 k 9 ∵x,y,z 都是正整数∴ 解得 （k 是整数） 200 20 0 k . k 10 7 0k . k 0 学习资料 精品 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - 精品 pdf资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 1 ∴10＜k 11 , ∵k 是整数， ∴ k=11 9 即 x=3 （桃）, y=20 （李）, z=77 （榄橄） (答略 ) 丙练习 11 1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况： x 2 y 3 2 x 3y 3 5x 1y ① ② ③ 3 6 x 9y 4 2 x 3y 3 5x 1y 2 x y a a 3 1 2． a 取什么值时方程组 2 的解是正数？ 9 6 x 9y 2a 2a x y 2 a 5 3． a 取哪些正整数值，方程组 的解 x 和 y 都是正整数？ 3x 4y 2a x ky k 4 ． 要使方程组 的解都是整数， k 应取哪些整数值？ x 2y 1 5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡， 鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？ 初中数学竞赛辅导资料（ 12） 用交集解题 甲内容提要 1． 某种对象的全体组成一个 集合 。组成集合的各个对象叫这个集合的 元素。 例如 6 的正约 数集合记作｛ 6 的正约数｝＝｛ 1，2， 3，6 ｝，它有 4 个元素 1，2， 3，6 ；除以 3 余 1 的正整数集合是个无限集，记作｛除以 3 余 1 的正整数｝＝｛ 1，4，7， 10……｝，它的 个元素有无数多个。 2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的 交集 例如 6 的正约数集合 A ＝｛ 1，2，3， 6 ｝，10 的正约数集合 B ＝｛ 1，2 ，5， 10 ｝，6 与 10 的公约数集合 C ＝｛ 1，2 ｝，集合 C 是集合 A 和集合 B 的交集。 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 正 正 整 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 数 整 数 集 数 集 的公共部分，是它们的交集――正整数集。 集 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 2 6 (1) x 例如不等式组 解的集合就是 2 x ( 2) 学习资料 精品 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - 精品 pdf资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 不等式（ 1）的解集 x3 和不等式（ 2 ）的解集 x ＞2 的交集， x3 . 如数轴所示： 0 2 3 4 ．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的 解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得 答案。（如例 2） 乙例题 例 1.一个自然数除以 3 余 2 ，除以 5 余 3 ，除以 7 余 2 ，求这个自然数的最小值。 解：除以 3 余 2 的自然数集合 A ＝｛ 2 ，5 ，8 ，11， 14， 17，20 ，23 ， 26 ，……｝ 除以 5 余 3 的自然数集 B ＝｛ 3 ，8 ， 13， 18，23 ，28，……｝ 除以 7 余 2 自然数集合 C＝｛ 2 ，9 ， 16，23 ，30 ，……｝ 集合 A 、B、C 的公共元素的最小值 23 就是所求的自然数。 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于 6 ，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。 解： 二位的质数共 21 个，它们的个位数字只有 1，3 ，7，9，即符合条件的质数它们的个位数 的集合是｛ 1 ，3 ，7 ，9 ｝； 其中差等于 6 的有： 1 和 7 ；3 和 9 ； 13 和 7，三组； 平方数的个位数字相同的只有 3 和 7 ； 1 和 9 二组。 同时符合三个条件的个位数字是 3 和 7 这一组 故所求质数是： 23 ， 17 ； 43 ，37 ； 53 ，47 ； 73 ， 67 共四组。 例3. 数学兴趣小组中订阅 A 种刊物的有 28 人，订阅 B 种刊物的有 21 人，其中 6 人两种都 订，只有一人两种都没有订，问只订 A 种、只订 B 种的各几人？数学兴趣小组共有几 人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅 A 种、 B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它 们的交集（ A 、B 两种都订的人数集合） 。 ∴只订 A 种刊物的人数是 28 －6＝22 人； A ＝ 28 B ＝ 21 只订 B 刊物的人数是 21 －6＝15 人； 小组总人数是 22 ＋ 15＋6 ＋ 1＝44 人。 只 A A B 只 B 22 6 15 设 N ，N （A ），N （B ），N （AB ）， N 分别表示总人数，订 A 种、 B 种、 AB 两种、都不订的人数，则得 ［公式一］ N ＝ N + N （A ）+N （B ）－ N （AB ）。 例4. 在 40 名同学中调查，会玩乒乓球的有 24 人，篮球有 18 人，排球有 10 人bg电子游戏平台，同时会玩 乒乓球和篮球的有 6 人，同时会玩乒乓球和排球的有 4 人，三种球都会的只有 1 人， 问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？ 解：仿公式一 ,得［公式二］ ： N ＝ N + N （A ）+N （B）+N(C) －N （AB ）－ N （AC ）－ N(BC)+N(ABC) ①只会打乒乓球的是 24 －6 －4＋ 1＝15 （人） A AB ②求 N （BC ）可用公式二： 24 6 B 18 ∵40 ＝24 ＋18＋ 10 －6－4 －N （BC ）＋ 1 AC ABC 4 1 ∴N （BC ）＝ 3 ， 即同时会打篮球和排球的是 3 人 C 10 学习资料 精品 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - 精品 pdf资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - ③只会打排球的是 10－3 －1＝6 （人） 例 5. 十进制中，六位数 能被 33 整除，求 x 和 y 的值 19xy87 解：∵ 0≤x ，y ≤9 ， ∴0 ≤x+y ≤ 18， －9 ≤x －y ≤9 ，x+yx －y ∵33 ＝3 ×11 ， ∴1＋9 ＋x+y+8 ＋7 的和是 3 的倍数，故 x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8) －(9+y+7) 是 11 的倍数， 故 x －y= －4 ，7 ∵x+y 和 x －y 是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解： x y 8 x y 14 x y 11 x y 17 x y 4 x y 4 x y 7 x y 7 x 2 x 5 x 9 x 12 解得 y 6 y 9 y 2 y 5 （x=12 不合题意舍去）答： x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2 丙练习 12 1． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿ 2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。 3． 12 的正约数集合 A ＝｛ ｝，30 的正约数集合 B ＝｛ ｝ 12 和 30 的公约数集合 C ＝｛ ｝，集合 C 是集合 A 和集合 B 的＿＿ 4 ． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上： 1 3 6x x 2 x 1 2x 0 ① ② ③ 3 ④ x 5 5 0x 2x 0 2 2x 5． 某数除以 3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某数的最小值。 6． 九张纸各写着 1 到 9 中的一个自然数（不重复） ，甲拿的两张数字和是 10，乙拿的两张 数字差是 1，丙拿的两张数字积是 24 ，丁拿的两张数字商是 3 ，问剩下的一张是多少？ 7． 求符合如下三条件的两位数：①能被 3 整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数 位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。 8． 据 30 名学生统计， 会打篮球的有 22 人，其中 5 人还会打排球； 有 2 人两种球都不会打。 那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？ 9． 100 名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人 A 和 B 进行表决，赞成 A 的有 52 票， 赞成 B 的有 60 票，其中 A 、B 都赞成的有 36 人，问对 A 、B 都不赞成的有几人？ 10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学 24 人，物理 18 人，化学 10 人；按 两科统计，参加数理、数化、理化分别是 13、4、5 人，没有三科都参加的人。求参赛的总 人数，只参加数学科的人数。 （本题如果改为有 2 人三科都参加呢？） x 11.y 3 x y 5 0 12. 十进制中，六位数1xy285 能被 21 整除，求 x,y 的值（仿例 5） 学习资料 精品 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - 精品 pdf资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 初中数学竞赛辅导资料（ 13） 用枚举法解题 甲内容提要 有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行； ② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； ③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 乙例题 1 1 例 1 如图由西向东走， N 4 A 3 11 B 从 A 处到 B 处有几 P C 13 4 种走法？ M 1 1 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从 A 到 C 有三种走法，在 C 处标上 3， 从 A 到 M （N ）有 3＋ 1＝4 种， 从 A 到 P 有 3 ＋4＋4 ＝11 种，这样逐步累 计到 B ，可得 1＋1＋ 11＝13 （种走法） 例2 写出由字母 X ，Y ，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为 1）的所有四次单项 式。 解法一：按 X 4 ，X 3，X 2 ，X ，以及不含 X 的项的顺序列出（如左） 解法二：按 X →Y →Z →X 的顺序轮换写出（如右） 4 4 4 4 X ， X ， Y ， Z 3 3 3 3 3 X Y ， X Z ， X Ybg电子游戏平台 ， Y Z ， Z X 2 2 2 2 2 3 3 3 X Y ， X Z ， X YZ ， X Z ， Y X ， Z Y 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 XY ， XZ ， XY Z ， XYZ ， X Y ， Y Z ， Z X 4 ， Z 4 3 2 2 ， YZ 3 。 X 2 2 2 Y Y Z ， Y Z YZ ， Y ZX ， Z XY 解法三：还可按 3 个字母， 2 个字母， 1 个字母的顺序轮换写出 (略) 例3 讨论不等式 axb 的解集。 解：把 a、b、c 都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表 ax0 的解集 b 正 负 零 正 a 负 零 b b 当 a0 时，解集是 x , 当 a0 时，解集是 x , a a 当 a=0,b0 时，解集是所有学过的数， 当 a=0,b ≤0 时，解集是空集 (即无解 ) 例 4 如图把等边三角形各边 4 等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为 4 个单位，则最小的等边三角形边长是 1 个单位， 再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计： 边长 1 单位，顶点在上的△有： 1+2+3+4=10 边长 1 单位，顶点在下的▽有： 1+2+3=6 学习资料 精品 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - 精品 pdf资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 边长 2 单位，顶点在上的△有： 1+2+3=6 边长 2 单位，顶点在下的▽有： 1 边长 3 单位，顶点在上的△有： 1+2=3 边长 4 单位，顶点在上的△有： 1 合计共 27 个 丙练习 13 1． 己知 x ，y 都是整数，且 xy=6 ，那么适合等式解共 ___ 个，它们是＿＿＿ 2． a+b=37,适合等式的非负整数解共 ___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3． xyz=6, 写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿ 4 ． 如图线段 AF 上有 B ，C，D ，E 四点 ,试分别写出以 A ，B ，C，D ，E 为一端且不重复的 所有线段，并统计总条数。 A B C D E F 5. 写出以 a,b,c 中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为 1）的 所有三次单项式 。 6. 除以 4 余 1 两位数共有几个？ 7. 从 1 到 10 这十个自然数中每次取两个，其和要大于 10 ，共有几种不同取法？ 8. 把 边长等于 4 的正方形各边 4 等分，連结各对应点成 16 个小正方形，试用枚举法，计 算共有几个正方形？如果改为 5 等分呢？ 10 等分呢？ 9. 右图是街道的一部分，纵横各有 5 条路，如果从 A A 到 B( 只能从北向南bg电子游戏平台，从西向东 )，有几种走法？ 10. 列表讨论不等式 axb 的解集 . 11. 一个正整数加上 3 是 5 的倍数，减去 3 是 6 的倍数， 则这个正整数的最小值是＿＿ B 初中数学竞赛辅导资料（ 14） 经验归纳法 甲内容提要 1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律， 得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经 验归纳法。例如 ①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……， 归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 × 10 ）， 2 三位数从 100 到 999 共 900 个（ 9 × 10 ）， 3 3 四位数有 9 ×10 ＝9000 个（ 9 ×10 ）， ………… 归纳出 n 位数共有 9 ×10n-1 (个 ) 学习资料 精品 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - 精品 pdf资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 2 2 2 ③ 由 1+3=2 , 1+3+5=3 , 1+3+5+7=4 …… 推断出从 1 开始的 n 个連续奇数的和等于 n2 等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化bg电子游戏平台，必须进行 足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性， 所猜想的结论， 有可能是错误的， 所以肯定或否定猜想的结论， 都必须进行严格地证明。 （到高中，大都是用数学归纳法证明） 乙例题 例 1 平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线 条直线 条直线 ……… 第 n 条直线 条直线都相交，增加了 n －1 个交点 由此断定 n 条直线两两相交，最多有交点 1＋2＋3 ＋…… n －1 （个）， n 1 n(n 1) 这里 n≥2，其和可表示为［ 1+ （n+1 ）］× , 即 个交点。 2 2 例 2．符号 n ！表示正整数从 1 到 n 的連乘积，读作 n 的阶乘。例如 5 ！＝ 1 ×2 ×3 ×4×5 。试比较 3n 与（ n+1 ）！的大小（ n 是正整数） n 解：当 n ＝1 时， 3 ＝3, （n＋ 1）！＝ 1×2＝2 n 当 n ＝2 时， 3 ＝9 ， （n ＋ 1）！＝ 1×2 ×3 ＝6 n 当 n ＝3 时， 3 ＝27, （n ＋ 1）！＝ 1 ×2 ×3 ×4 ＝24 n 当 n ＝4 时， 3 ＝81, （n ＋ 1）！＝ 1 ×2 ×3 ×4 ×5＝120 n 当 n ＝5 时， 3 ＝243, （n＋ 1）！＝ 6 ！＝720 …… n n 猜想其结论是：当 n＝ 1，2，3 时， 3 ＞（ n ＋ 1）！，当 n3 时 3 ＜（ n ＋1）！。 例 3 求适合等式 x +x +x ＋… +x =x x x …x 的正整数解。 1 2 3 2003 1 2 3 2003 分析：这 2003 个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用 经验归纳法从 2 个， 3 个， 4 个……直到发现规律为止。 解： x +x =x x 的正整数解是 x =x =2 1 2 1 2 1 2 x +x +x =x x x 的正整数解是 x =1,x =2,x =3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x 1+x2+x3+x4=x 1x 2x3 x4 的正整数解是 x 1=x2 =1,x 3=2,x4 =4 x 1+x2+x3+x4+x 5=x 1x2 x3 x4x 5 的正整数解是 x 1=x2=x 3=1,x 4=2,x 5=5 x 1+x2+x3+x4+x 5+x6=x 1x 2x 3x4x5x 6 的正整数解是 x 1=x2 =x3=x 4=1,x 5=2,x 6=6 ………… 由此猜想结论是：适合等式 x 1+x 2+x3 ＋… +x2003 =x 1x 2x 3 …x 2003 的正整数解为 x 1=x2 =x3 ＝…… =x2001 =1, x 2002=2 ， x2003=2003 。 丙练习 14 1． 除以 3 余 1 的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个， n 位数 有＿＿＿＿个。 学习资料 精品 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - 精品 pdf资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 2． 十 进 制 的 两 位 数 可 记 作 10a ＋ a , 三 位 数 记 作 100a +10a +a 四 位 数 a a 1 2 a a a 1 2 3, 1 2 1 2 3 a a a a 记作＿＿＿＿， n 位数＿＿＿ 记作＿＿＿＿＿＿ 1 2 3 4 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3． 由 1 ＋2 ＝（ 1＋2） ， 1 ＋2 ＋3 ＝（ 1＋2 ＋3 ） ，1 ＋2 ＋3 ＋4 2 3 2 3 3 3 2 ＝（＿＿＿） ,1 ＋＿＿＿＿＿＿＝ 15 ， 1 ＋2 ＋…＋ n =( ) 。 4 ． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） 2； 2 ① － ＝（＿＿＿） ； － ＝（ ＿＿） 。 111 1 222 2 111 1 222 2 10 1 个 5 2个 2 1n个 n个 2 ② 2 ； 2 111 1 55 56 ＝（＿＿＿＿）11 1155 56 ＝（＿＿＿） 9位 9位 n位 n 位 5． 把自然数 1 到 100 一个个地排下去： 123…… 91011…… 99100 ① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少 1 1 1 1 6．计算 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 11 12 12 13 13 14 19 20 （提示把每个分数写成两个分数的差） 7．a 是正整数，试比较 aa+1 和 (a+1)a 的大小 . 8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽 3 等分，把长 8 等分，分成 24 个 小长方形，那么这 24 个长方形中， 两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。 本题如果改为把宽 m 等分 ,长 n 等分 (m,n 都是大于 1 的自然数 )那么这 mn 个长方形中， 两边 涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个 9．把表面涂有红色的正方体的各棱都 4 等分，切成 64 个小正方体，那么这 64 个中，三面 涂色的有＿＿个， 两面涂色的有＿＿＿个， 一面涂色的有＿＿＿个， 四面都不涂色的有＿ ＿＿＿个。 本题如果改为把长 m 等分 ,宽 n 等分 ,高 p 等分，（ m,n,p 都是大于 2 的自然数）那么这 mnp 个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个， 四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。 10．一个西瓜按横， 纵，垂直三个方向各切三刀， 共分成＿＿＿块， 其中不带皮的有＿＿块。 11．已知两个正整数的积等于 它们分别是＿＿＿，＿＿＿。 初中数学竞赛辅导资料（ 15） 乘法公式 甲内容提要 学习资料 精品 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - 精品 pdf资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、 根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开） ，还可以由右到左逆用（因式分解） ，还 要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式： (a±b)2 =a2 ±2ab+b2 , 2 2 平方差公式： （ a+b） (a－b)=a －b 立方和（差）公式： (a±b)(a2 2 3 ±b3 ab+b )=a 3.公式的推广： 2 2 2 2 2 ① 多项式平方公式： (a+b+c+d) =a +b +c +d +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的 2 倍。 ② 二项式定理： (a±b)3=a3 ±3a2 b+3ab2 ±b3 4 4 ±4a3 2 2 ±4ab3 4 ） (a±b) =a b+6a b +b 5 5 4 3 2 2 3 4 5 （a±b） =a ±5a b+10a b ±10a b ＋5ab ±b ） ………… 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 3 2 2 3 4 4 （a+b ）(a －a b+ab －b )=a －b 4 3 2 2 3 4 5 5

　　2021年初中数学最全知识点总结初中数学公式汇总中考最后压轴题.pdf

　　2023年缓控释制剂行业市场需求分析报告及未来五至十年行业预测报告.pdf

　　原创力文档创建于2008年，本站为文档C2C交易模式，即用户上传的文档直接分享给其他用户（可下载、阅读），本站只是中间服务平台，本站所有文档下载所得的收益归上传人所有。原创力文档是网络服务平台方，若您的权利被侵害，请发链接和相关诉求至 电线) ，上传者